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| n | = | σ 0 (n) | σ 1 (n) | σ 2 (n) | σ 3 (n) | σ 4 (n) |

|---|---|---|---|---|---|---|

| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |

| 2 | 2 | 2 | 3 | 5 | 9 | 17 |

| 3 | 3 | 2 | 4 | 10 | 28 | 82 |

| 4 | 2 2 | 3 | 7 | 21 | 73 | 273 |

| 5 | 5 | 2 | 6 | 26 | 126 | 626 |

| 6 | 2‧3 | 4 | 12 | 50 | 252 | 1394 |

| 7 | 7 | 2 | 8 | 50 | 344 | 2402 |

| 8 | 2 3 | 4 | 15 | 85 | 585 | 4369 |

| 9 | 3 2 | 3 | 13 | 91 | 757 | 6643 |

| 10 | 2‧5 | 4 | 18 | 130 | 1134 | 10642 |

| 11 | 11 | 2 | 12 | 122 | 1332 | 14642 |

| 12 | 2 2 ‧3 | 6 | 28 | 210 | 2044 | 22386 |

| 13 | 13 | 2 | 14 | 170 | 2198 | 28562 |

| 14 | 2‧7 | 4 | 24 | 250 | 3096 | 40834 |

| 15 | 3‧5 | 4 | 24 | 260 | 3528 | 51332 |

| 16 | 2 4 | 5 | 31 | 341 | 4681 | 69905 |

| 17 | 17 | 2 | 18 | 290 | 4914 | 83522 |

| 18 | 2‧3 2 | 6 | 39 | 455 | 6813 | 112931 |

| 19 | 19 | 2 | 20 | 362 | 6860 | 130322 |

| 20 | 2 2 ‧5 | 6 | 42 | 546 | 9198 | 170898 |

| 21 | 3‧7 | 4 | 32 | 500 | 9632 | 196964 |

| 22 | 2‧11 | 4 | 36 | 610 | 11988 | 248914 |

| 23 | 23 | 2 | 24 | 530 | 12168 | 279842 |

| 24 | 2 3 ‧3 | 8 | 60 | 850 | 16380 | 358258 |

| 25 | 5 2 | 3 | 31 | 651 | 15751 | 391251 |

| 26 | 2‧13 | 4 | 42 | 850 | 19782 | 485554 |

| 27 | 3 3 | 4 | 40 | 820 | 20440 | 538084 |

| 28 | 2 2 ‧7 | 6 | 56 | 1050 | 25112 | 655746 |

| 29 | 29 | 2 | 30 | 842 | 24390 | 707282 |

| 30 | 2‧3‧5 | 8 | 72 | 1300 | 31752 | 872644 |

In der Zahlentheorie ist die Teilerfunktion die Funktion, die einer natürlichen Zahl die Summe ihrer Teiler, erhoben zu einer gewissen Potenz, zuordnet.cite-ref-1[1] Sie wird üblicherweise mit dem griechischen Buchstaben σ {\displaystyle \sigma } bezeichnet.

• Definition

• Spezialisierungen

• Eigenschaften

• Reihenformeln

• Identitäten aus der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen

• Siehe auch

• Quellen

Für eine natürliche Zahl n {\displaystyle n} ist definiert:

σ σ k ( n ) := ∑ ∑ d | n d k {\displaystyle \!\ \sigma _{k}(n):=\sum _{d|n}d^{k}} .

Hierbei erstreckt sich die Summe über alle positiven Teiler von n {\displaystyle n} , einschließlich 1 {\displaystyle 1} und n {\displaystyle n} . Beispielsweise ist demnach σ σ 2 ( 6 ) = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 6 2 = 50. {\displaystyle \sigma _{2}(6)=1^{2}+2^{2}+3^{2}+6^{2}=50.}

• d := σ σ 0 {\displaystyle d:=\sigma _{0}} ist die Teileranzahlfunktion,

• σ σ := σ σ 1 {\displaystyle \sigma :=\sigma _{1}} ist die Teilersumme.

• σ σ k {\displaystyle \sigma _{k}} ist multiplikativ, das heißt, für teilerfremde n , m {\displaystyle n,m} gilt: σ σ k ( n ⋅ ⋅ m ) = σ σ k ( n ) ⋅ ⋅ σ σ k ( m ) {\displaystyle \sigma _{k}(n\cdot m)=\sigma _{k}(n)\cdot \sigma _{k}(m)} .

• Hat n {\displaystyle n} die Primfaktorzerlegung n = ∏ ∏ i = 1 r p i e i {\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}{p_{i}^{e_{i}}}} , so ist

• σ σ k ( n ) = ∏ ∏ i = 1 r ∑ ∑ j = 0 e i p i j k {\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{e_{i}}{p_{i}^{jk}}} ,

• σ σ k ( n ) = ∏ ∏ i = 1 r p i k ( e i + 1 ) − − 1 p i k − − 1 {\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{k(e_{i}+1)}-1}{p_{i}^{k}-1}}} für k > 0 {\displaystyle k>0} , und für k = 0 {\displaystyle k=0} gilt: σ σ 0 ( n ) = ∏ ∏ i = 1 r ( e i + 1 ) {\displaystyle \sigma _{0}(n)=\prod _{i=1}^{r}(e_{i}+1)} .

• Die durchschnittliche Größenordnung von σ σ k {\displaystyle \sigma _{k}} für k > 0 {\displaystyle k>0} ist σ σ k ( n ) ∼ ∼ ζ ζ ( k + 1 ) n k {\displaystyle \sigma _{k}(n)\sim \zeta (k+1)n^{k}} , mit der Riemannschen Zetafunktion ζ ζ ( s ) {\displaystyle \zeta (s)} .cite-ref-2[2]

• Die durchschnittliche Größenordnung der Teileranzahlfunktion d ( n ) := σ σ 0 ( n ) {\displaystyle d(n):=\sigma _{0}(n)} ist ln ⁡ ⁡ n {\displaystyle \ln n} . Genauer gilt mit der Eulerschen Konstanten C {\displaystyle C}

∑ ∑ x ≤ ≤ n d ( x ) = n ln ⁡ ⁡ n + ( 2 C − − 1 ) n + O ( n ) {\displaystyle \sum _{x\leq n}d(x)=n\ln n+(2C-1)n+O({\sqrt {n}})} .

Speziell für σ σ 0 {\displaystyle \sigma _{0}} gilt:

∑ ∑ i = 1 n σ σ 0 ( i ) = ∑ ∑ i = 1 n ⌊ n i ⌋ {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\sigma _{0}(i)=\sum _{i=1}^{n}\left\lfloor {\frac {n}{i}}\right\rfloor }

Dies kann man sich klarmachen, in dem man die rechte Summe als ∑ ∑ i = 1 ∞ ∞ ⌊ n i ⌋ {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{i}}\right\rfloor } schreibt: Wenn man nun n {\displaystyle n} durch n + 1 {\displaystyle n+1} substituiert, werden genau die Summanden der Summe um 1 größer, die n + 1 {\displaystyle n+1} teilen.

Zwei Dirichletreihen mit der Teilerfunktion sind: (S. 285, Satz 291)cite-ref-3[3]

∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ σ σ a ( n ) n s = ζ ζ ( s ) ζ ζ ( s − − a ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)} für s > 1 , s > a + 1 , {\displaystyle s>1,\;s>a+1,}

was speziell für d(n) = σ0(n) ergibt:

∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ d ( n ) n s = ζ ζ 2 ( s ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s)} für s > 1 {\displaystyle s>1}

und (S. 292, Satz 305)

∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ σ σ a ( n ) σ σ b ( n ) n s = ζ ζ ( s ) ζ ζ ( s − − a ) ζ ζ ( s − − b ) ζ ζ ( s − − a − − b ) ζ ζ ( 2 s − − a − − b ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}.}

Eine Lambert-Reihe mit der Teilerfunktion ist:

∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ σ σ a ( n ) q n = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ ∑ ∑ k = 1 ∞ ∞ n a q k n = ∑ ∑ n = 1 ∞ ∞ n a q n 1 − − q n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{a}(n)q^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=1}^{\infty }n^{a}q^{kn}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{a}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}}

für beliebiges komplexes |q| ≤ 1 und a.

Die Teilerfunktion lässt sich für k > 0 {\displaystyle k>0} mittels Ramanujansummen auch explizit als Reihe darstellen:cite-ref-4[4]

σ σ k ( n ) = ζ ζ ( k + 1 ) n k ∑ ∑ m = 1 ∞ ∞ c m ( n ) m k + 1 . {\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {c_{m}(n)}{m^{k+1}}}.}

Die Berechnung der ersten Werte von c m ( n ) {\displaystyle c_{m}(n)} zeigt das Schwanken um den "Mittelwert" ζ ζ ( k + 1 ) n k {\displaystyle \zeta (k+1)n^{k}} :

σ σ k ( n ) = ζ ζ ( k + 1 ) n k [ 1 + ( − − 1 ) n 2 k + 1 + 2 cos ⁡ ⁡ 2 π π n 3 3 k + 1 + 2 cos ⁡ ⁡ π π n 2 4 k + 1 + ⋯ ⋯ ] {\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n}{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots \right]}

Ein wesentlicher Bestandteil der Fourierentwicklung von Eisensteinreihen von Gewicht k ≥ ≥ 4 {\displaystyle k\geq 4} , gerade, sind die Teilerfunktionen σ σ k − − 1 {\displaystyle \sigma _{k-1}} . Aus Relationen zwischen den Eisensteinreihen können die Werte einiger Faltungen von Teilerfunktionen hergeleitet werden, so ist zum Beispiel für alle n ∈ ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } :cite-ref-5[5]

120 ∑ ∑ m = 1 n − − 1 σ σ 3 ( m ) σ σ 3 ( n − − m ) = σ σ 7 ( n ) − − σ σ 3 ( n ) , {\displaystyle 120\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{3}(n-m)=\sigma _{7}(n)-\sigma _{3}(n),}

5040 ∑ ∑ m = 1 n − − 1 σ σ 3 ( m ) σ σ 5 ( n − − m ) = 11 σ σ 9 ( n ) − − 21 σ σ 5 ( n ) + 10 σ σ 3 ( n ) . {\displaystyle 5040\sum _{m=1}^{n-1}\sigma _{3}(m)\sigma _{5}(n-m)=11\sigma _{9}(n)-21\sigma _{5}(n)+10\sigma _{3}(n).}

• Hochzusammengesetzte Zahl

cite-note-11. ↑ Eric W. Weisstein: Divisor Function. In: MathWorld (englisch).

cite-note-22. ↑ E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 134.

cite-note-33. ↑ Godfrey Harold Hardy, E. M. Wright: Einführung in die Zahlentheorie. R. Oldenbourg, München 1958, S. 285, 292.

cite-note-44. ↑ E. Krätzel: Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1981, S. 130.

cite-note-55. ↑ Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. 2. Auflage. Springer-Verlag, 1990, S. 140.